k空间和R空间的LRI矩阵元

1.一些初步的认识

1.1周期边界条件在R空间产生的镜像BVK超胞

考虑k=4×4×1的这样一个BvK超胞

	R_x=-1		R_x=0		R_x=1		R_x=2		R_x=3		R_x=4
R_y=-1		I^'₄		I^'₃		I		I		I		I
R_y=-1	J		J		J		J		J		J
R_y=0		I^'₂		I₁		I		I		I₂		I
R_y=0	J		J		J		J		J		J
R_y=1		I		I		I		I		I		I
R_y=1	J		J		J		J		J		J
R_y=2		I		I		I		I		I		I
R_y=2	J		J		J		J		J		J
R_y=3		I		I₃		I		I		I₄		I
R_y=3	J		J		J		J		J		J
R_y=4		I		I		I		I		I		I
R_y=4	J		J		J		J		J		J

虽然实际上，但当我们对实际空间的所有R傅里叶变换到4×4×1的k空间，再反傅里叶变换回R空间时，就会有

也就是出现了周期性，对于刚刚的例子就是。在图中，尽管实际上原子I1离原子I2有3个晶格常数，但周期边界条件会把它等价到镜像超胞的原子I2'上，最终的库仑势为所有等价原子的库伦积分之和。

同理，；。从这个意义上来说，BvK超胞的最短尺寸应当大于库伦积分截断半径（基函数半径× rpa_ccp_rmesh_times）的2倍。

同样的，虽然原始的C并不具有周期性，但最终参与计算的C将所有等价原胞折叠到一起

1.2k空间是R空间分块对角化的结果

在k=4×1×1的一个BvK超胞中，R空间的哈密顿量具有平移对称性，利用这一性质可以在原胞尺度上对哈密顿量做分块对角化，只剩下k的对角块

把矩阵乘回去可以验证，所以k空间相当于以不同的模式把R空间折叠起来，得到分块对角的哈密有量，这样得到Nk个降低了Nk倍维度的哈密顿矩阵，每一个矩阵的表象变成了(对称约定)，或者(不对称约定，和H的变换形式一致，但要注意这个约定的变换不么正，表象变换需要套相似变换而不等于合同变换）。下面两个公式说明了为什么H的变换形式不对称

另外值得注意的是，实空间的矩阵需要满足（实数情况，对于复数还要多个复共轭），这样才能保证k空间矩阵的厄米性

2. k空间和R空间的公式

采用以下记号

分子轨道记号：电子：ij；空穴：ab

原子轨道记号：stuv

辅助基：

2.1 V（标记辅助基）

间隔R的原胞之间实辅助基组的库伦积分组成库伦矩阵

现在将辅助基从单中心变成布洛赫波函数

可见只有相同k指标的布洛赫辅助基才有非零的库伦积分，下一节会看到，辅助基的k指标只和展开的一对原子基的布洛赫波矢之差有关，故统一用q标记这一准动量转移，并记作

实际计算中，R的范围与库伦积分截断半径（ccp_rmesh_times）有关。

2.2 C（st标记原子基）

关于C系数

其具有平移不变性

和st对换不变性

采用LocalRI，将辅助基中心限定在两个原子轨道中心上

其中可以通过交换st指标，使得第一个原子基和辅助基中心再次相等。

现在考虑在布洛赫表象下写出原⼦轨道

它被布洛赫辅助基展开的系数是

其中定义了C的傅里叶变换

这里R的范围可以超过一个BvK超胞，镜像超胞对应的Bloch相位相同，幅值叠加。

2.3 c（abij标记分子轨道）

关于c系数，分子轨道有Bloch表象和Wannier表象

其中定义了

上面的k指标的分子轨道具有布洛赫波函数的形式，下面的R指标分子轨道具有Wannier波函数的形式，其以R所处的原胞为中心。

Bloch波矢和能量对易，它是一个好量子数，所以分子轨道中只有相同k指标的原子Bloch基做线性组合。Wannier轨道则不具有这一点，所以分子轨道中包含对不同R指标的Wannier基做线性组合。

2.4 HF

原子基下exx的哈密顿量

Ru和Rv原则上是可以超出BvK的，不过由于最终H(R)要变换到k空间，镜像原胞的Ru和Rv对H(k)的贡献是等价的，所以总可以先将C和V折叠到BvK中，再做张量缩并。另外，C和V在R空间下具有稀疏性，可加速计算。

k空间的Hexx只需要对Hexx(R)做正FT

2.5 RPA:响应函数：和

本节参考：Shi R, Lin P, Zhang M Y, et aL. PRB, 2024, 109(3):035103 一般的做法是将响应函数在k空间辅助基展开

代入式(1)可得q空间的响应函数

另一方面

它与格林函数的关系是（这里同时换到时域上）

由此可得R空间的响应函数

利用平移对称性，并交换一些哑指标，得到

注意到最终要变换到来求RPA关联能，而镜像原胞的在FT时贡献到相同的相位，所以尽管C不具有周期性，但它可以事先折叠到BvK中。G(R)是从k空间反FT得到的，自身具有周期性

2.6 BSE

V矩阵（exchange term，电子和空穴交换坐标）第aik1行第bjk2列是

互换行列指标后，，对第二个式子做这样的替换可以快速得到

W矩阵(direct term，电子同坐标，空穴同坐标) 第aik1行第bjk2列是

互换行列指标后，，对第二个式子做这样的替换可以快速得到

这时V，W，c和C都在k空间上，不具有稀疏性。但如果换到R空间，会多出三层卷积循环。程序实测也证实在k空间运算更快。

k空间和R空间的LRI矩阵元 ​

1.一些初步的认识 ​

1.1周期边界条件在R空间产生的镜像BVK超胞 ​

1.2k空间是R空间分块对角化的结果 ​

2. k空间和R空间的公式 ​

2.1 V（ 标记辅助基） ​

2.2 C（st标记原子基） ​

2.3 c（abij标记分子轨道） ​

2.4 HF ​

2.5 RPA:响应函数： 和 ​

2.6 BSE ​